Alors, étant un voyageur confirmé sur tout les continents, je peux répondre à certaines questions.
Oui, le passeport est obligatoire et précieux hors-UE (et donc pour le Royaume-uni une fois le Brexit entérinée). Il faut donc y faire très attention. Toujours le mettre en lieu sûr, ne pas se balader en l'ayant sur soit mais avec des photocopies, etc... Vous ne pouvez pas vous imaginez le merdier de prouver son identité sans lui à l'étranger, et donc de se faire refaire ce précieux sésame.
Non, le passeport ne te donne pas droit au statut de réfugiés. Il prouve juste ton identité hors UE et tes antécédents éventuels. Dis-toi bien qu'ils les auront de toutes façons tes antécédents, et que donc, avoir un passeport est en soit une preuve de bonne foi, et je peux vous garantir que face à des autorité peu conciliante type USA, HK ou Israël : ça peut faire toute la différence (je parle d'expérience).
Non, nul besoin de s'en faire un "au cas où". Les passeports biométriques sont très onéreux et ont une date limite de validité (10 ans en France), donc pour en tirer le meilleur, mieux vaut en faire faire un peu avant d'effectivement partir. Prévoir quand même de la marge parce que les délais d'obtention peuvent être assez long suivant où vous vous trouvez.